楕円曲線暗号の全体説明
前項で、11を法とする楕円曲線方程式ｙ**2 ＝ ｘ**3 - 2*ｘ ＋ ３を 満たす（離散化された）点は全部で10個あることがわかりました。あと、 無限遠点もそれに含めることにします。無限遠点というよりは、ｙ軸に 平行な方向をイメージした方がわかりやすいかもしれません。これは数 「０」に対応する点です。実際、任意の点Ａに無限遠点を足すと、元の 点Ａに戻ってしまいます。また楕円曲線上のある点Ａと、ｘ軸に関して それに対称な点Ｂの和は、この無限遠点になります（図参照）。
こうすると、離散化された点は和（自分自身との和つまり２倍も含む） に関して、閉じた集合となります。数学用語を使うなら、群（可換群） であることがわかっています（結合法則の証明がやや面倒ですが省略）。
この時、楕円曲線上のある点Ａをｋ倍した点Ｂは、比較的簡単に求め られます。しかし逆に、楕円曲線上の２点ＡとＢとが与えられた時に、 ＢがＡの何倍かというのは、しらみつぶしチェックを行わない限り求め られないことがわかっています。これ、図13で説明した離散対数問題に 似ていますね。ｂ＝ｑ**ａとなるｂを求めるのは簡単だが、与えられた ある整数ｑとｂに対して、ｂ＝ｑ**ａとなるａを求めるのは難しい、と いう性質でした。
離散対数問題からＥｌＧａｍａｌ暗号を導いたのと同じように、楕円 曲線上のｋ倍問題から導いた暗号が、楕円曲線暗号なのです。つまり、 楕円曲線方程式や、法とする数（極めて大きな素数）や、基準となる点 Ｐの位置は公開した上で、Ａさんはｍという数を隠したままｍＰの位置 を公開する。Ｂさんはｎという数を隠したままｎＰの位置を公開する。 そしてＡさんはＢさんが公開したｎＰを密かにｍ倍する。一方Ｂさんは Ａさんが公開したｍＰを密かにｎ倍する。これにより両者は、ｍｎＰと いう点を密かに共有できるわけです。
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