ｍｏｄによる楕円曲線上の点の離散化
楕円曲線上の連続した実数値では暗号にできないので、図６で説明し たｍｏｄにより、自然数の世界にこれを引き込みます。ある素数ｐを法 にするのです。実際には極めて大きな値を使うのですが、ここではｐを 11とし、図15で描いたｙ**2 ＝ ｘ**3 - 2*ｘ ＋ ３を用います。11を法 としてこの方程式を満たす自然数の組合せを考えるのです。
左の図は11を法とした乗算表です。ｘ＝０とすると右辺は３ですね。 二乗して３になる（11を法として）数には、５と６とがあることが表か らわかります。つまり、(0,5)と(0,6)が、11を法として楕円曲線方程式 を満たすわけです。
ｘ＝１や３だと右辺は２。しかし二乗して２になる数はありません。 ｘ＝２とすると右辺は７。二乗して２になる数もありません。ｘ＝４と すると右辺は４。表から二乗して４になる数は２と９があります。つま り、(4,2)と(4,9)が、方程式を満たします。以下同様に、(6,3)と(6,8) と(8,2)と(8,9)と(10,2)と(10,9)とを得ます。
次に、(0,5)の「２倍の点」を求めましょう。まずそのためのｓの値を 求めます。前項でｓ＝(3*x1**2 + a)/(2*y1)と述べましたが、11を法と する自然数の中では、普通の割り算はできません。そこで右辺の分母を 移項して、ｓ*(2*y1)＝(3*x1**2 + a)とします。aは-2ですが、11を法と する世界なので、これは９ということです。また、x1は０でy1は５です。 つまり、ｓ*10＝９となるｓを求めればよいわけです。乗算表からこれは ２とわかります。
そのｓやx1やy1を元に２倍点(s**2-2*x1,-y1+s*(3*x1-s**2))を求める と、(4,9)という値を得ます。同じようにすべての２倍点が計算できます。 その結果を右の表に記します。もちろん一般にｎ倍点も求まります。
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