楕円曲線上の点の加算の定義
ここでは楕円曲線上の２点に関して、その和（加算）を定義します。 幾何学的なイメージとしては、図のように、その２点を通る直線が同じ 楕円曲線と交わるもう１つの点の、ｘ軸に関する対称点を、２点の和と 定義します。数式で書くと、２点を(x1,y1)、(x2,y2)とする（x1≠x2） と、和の点は(s**2-x1-x2,-y1+s*(2*x1+x2-s**2))となります。但しｓは 「２点を通る直線」の勾配で、(y2-y1)/(x2-x1)です。
楕円曲線は面白い性質を持ちます。ある楕円曲線と３点で交わる直線 を引くと、３点の各ｘ座標の和は、直線の傾き（ｓ）の二乗になるので す。これは、３点の座標を楕円曲線方程式に代入してａとｂを消去し、 次にｙ同士の差がｘ同士の差のｓ倍に等しいことを使ってｙも消去する ことで、検証できます。それから上記の座標値が得られます。
x1＝x2の時は、上記のｓは不定になってしまいますが、自然な極限を 考え、接線の傾きをｓとします。楕円曲線方程式の両辺を微分すれば、 ｓ＝(3*x1**2 + a)/(2*y1)となることがすぐにわかります。x1とx1の和 は、その接線ともう一つの交点であり、(s**2-2*x1,-y1+s*(3*x1-s**2)) という座標になります。足される最初の２点が一致しているわけですか ら、この点は最初の点の２倍の点と表現されます。
これを元に、楕円曲線上の点のｎ倍（ｎは自然数）が定義できます。 ２倍したものをさらに２倍しさらに２倍すれば、８倍の点となります。 それと最初の点を足せば、９倍が得られます。必ずしも９回の加算操作 をしなくてもいいわけで、４回の操作で９倍が得られたことになります。
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