楕円曲線とはどのような曲線か
現代暗号に多少なりとも興味を持っている人は、楕円曲線暗号という 言葉を耳にしているのではないかと思います。以下図18まで、それにつ いて説明します。まずは楕円曲線自体の説明です。
２次元平面における楕円の式（厳密にいうと楕円上の点が直交座標系 において満たすべき方程式）というのは、覚えている方もいるでしょう。
(ｘ**2)／(ａ**2) ＋ (ｙ**2)／(ｂ**2) ＝ １
でしたね。特にａ＝ｂなら、これは半径ａの円（円周）となります。
しかし楕円曲線というのは、これとは異なります。完全に一般化した 定義ではありませんが、とりあえず下記の方程式を満たす点の集合だと 思ってください。
ｙ**2 ＝ ｘ**3 ＋ ａ*ｘ ＋ ｂ
右辺第１項は二乗でなく三乗です。ｘの二乗項がないのは大きな特徴 のようにも見えますが、これはｘ座標を左右に適当に動かせばよいだけ で、本質的な特徴ではありません。また４*(ａ**3)＋27*(ｂ**2)の値は ０でないものとします。これが０だと特異な状態になってしまいます。
もしある点(x0,y0)が上記方程式を満たせば、点(x0,-y0)もこれを満た すことは明らかです。つまり曲線はｘ軸に関して対称になるはずです。 具体例として、ａ＝-2、ｂ＝3とし、いくつかのｘに対する正のｙの値を エクセルで計算してみました。それを元にグラフの概形を図に示します。
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